基于连续能量蒙特卡罗方法的 均匀化群常数计算
李满仓，王佩，姚栋
（1.清华大学工程物理系，北京160084；2.中国核动力研究设计院核反应堆系统设计教术重点实验室，四川或都610041）
摘要：两步法反应准物理计算流程中，组件均匀化群常数显著影响堆芯计算精度.相比确定论方法，连续能量蒙特卡罗方法均匀化精确描述各种几何构型栅格，避免繁琐共报自屏计算，保留更多连续能量信 息，不仅产生的群靠数更精确，面且普适性也更强，作为实现连续能量蒙特卡罗组件均匀化的第一步，本文应用径迹长度方法统计计算一般群截面和群靠数，提出并使用散射事件方法获得不能直接应用确定论方法计算群间散射截面和高阶勒让德系数，应用P：截面计算扩微系数.为还原两步法计算流程中 组件在堆芯的临界状态，本文应用B理论对均匀化群常数进行泄漏修正，在4种类暨组件和简化压水堆堆芯上数值验证蒙特卡罗均匀化群常数.验证结果表明：连续能量蒙特卡罗方法组件均匀化群常数具有良好儿何适应性，星著提高难芯计算精度.
关键词：均匀化：群常数：蒙特卡罗方法：连续能量
中国分类号：TL329 文献标志码：A 文章编号：0258-0918（2012)04-0306-09
Continuous energy Monte Carlomethodbased homogenization multi-group constants calculation
LI Man-ceng* WANG Kan' YAO Dong
(1. Department of Engineering Physics. Tsinghus University Beijing 100084 China 2. Reactor System Design Technology Laboratoey Nuclear Power Institute of China Chengdu of Sichusn Prov. 510041 China)
Abstraet ; The efficiency of the standard two-step reactor physics calculation relies on theaccuracy of multi-group constants from the assembly-level homogenization process. In contrast to the traditional deterministic methods generating the homogenization crosssections via Monte Carlo method overes the difficulties in geometry and trestsenergy in continuum thus provides more accuracy parameters. Besides the same codeand data bank can be used for a wide range of applications resulting in the versatility using Monte Carlo codes for homogenization. As the first stage to realize Monte Carlo
based lattice homogenization the track length scherme is used as the foundation of crossponents however require special techniques. The Scattering Event method was section generation which is straight forward. The scattering matrix and Legendreproposed to solve the problem. There are no continuous energy counterparts in theMonte Carlo calculation for neutron diffusion coefficients. P cross sections were used tocaleulate the diffusion coefficients for diffusion reactor simulator codes. Bx theory is applied to take the leakage effect into account when the infinite lattice of identiealsymmetric motives is assumed. The MCMC code was developed and the code wasapplied in four assembly configurations to assess the accuracy and the applicability. Atcore-level A PwR prototype core is examined. The results show that the Monte Carlo based multi-group constants behave well in average. The method could be applied to
Key words; homogenizations multi-group constants; Monte Carlo method; continuous energy
有优势.传统的反应堆物理分析以确定论为主，蒙特卡罗方法通常只是作为补充手段.随 着计算机技术和高性能算法的不断发展，完成物理计算所需时间越来越短，人们希望在更高的平台上追求速度与精度的平衡：另一方面，新何和物理复杂度也形成挑战.这种背景下，联 型复杂难芯额念的提出，对程序所能模拟的儿合蒙特卡罗方法和确定论方法优势的研究是近几年的一个热点方向，其中一个思路是应供均匀化群常数，这种方案沿用传统的“两步 用蒙特卡罗方法计算组件为确定论难芯程序提法”，提高对复杂儿何和物理的适应性，避免复杂的共振计算，同时保证堆芯计算在可接受的时间内完成.使用同一个蒙特卡罗组件均匀化程序和同一套数据即可模拟计算任意几何构型 的组件和任意能谱的堆芯，普适性很好.
蒙特卡罗方法方法各有优缺点：确定论方法一有一定的特殊性，针对确定论发展的均匀化理 在反应维物理计算中应用的确定论方法和的基本产生方法，蒙特卡罗方法相对于确定论般计算速度较快，蒙特卡罗方法通常精度上具论并不能直接应用在蒙特卡罗方法中：二是群常数等效均匀化，均匀化过程必须做等效处理，蒙特卡罗方法均匀化也不例外，本文研究和探 索解决第一个问题，即蒙特卡罗方法计算产生组件均匀化群常数，特别是散射矩阵和高阶勤让德系数，扩散系数在蒙特卡罗方法中没有对应的物理量，通过研究采用P截面计算，对于全反射单组件计算模型，本文应用B理论对均 匀化群常数进行泄漏修正.
以下首先介绍本文蒙特卡罗均匀化群常数的计算方法，之后在组件和堆芯两个层次对方法进行验证.
1计算方法
1.1一般群常数计算方法
本文一般群截面和群常数包括总截面、吸等，基本计算恩路是使用径迹长度方法估计反 收截面、中子产生截面、裂变截面和中子裂变谐应率和通量，通过二者之商得到截面.
近儿年国际上一直在探索应用蒙特卡罗方法进行组件均匀化*，应用涉及沸水堆、高通量堆、乏燃料组件和球床维等.原则上的 蒙特卡罗程序都可以通过计数能量和体积区间的反应率和通量获得均匀化截面，但是广泛使用的蒙特卡罗程序如MCNP1、KENO[1、TRIPOLIMVP15等不具备这样的功能. 应用连续能量蒙特卡罗方法进行组件尺度的均式（1）以及下面公式中的时间变量：指的是粒匀化计算主要涉及两个大的问题：一是群常数子从产生到消失的时间，其中通量
定义时间积分体积权重的群通量，
(1)
本文的计算都是静态的，和时间无关.
将式（2）代人（1）式，可以得到：
改写成距离的形式
其中：是粒子从产生到消失的距离，在蒙特卡罗方法中，粒子密度等价于每单位体积的 粒子权重W的总和，而距离等价于径造长度TL.因此（3）式可以写成
积V处的粒子权重和径迹长度的乘积；W.是 其中，WTL（E）为第：个粒子在能量E体第：个粒子的初始权重：N为跟踪的粒子总数.
类似的，对于反应率，有下式成立：
根据（5）式和（6）式即可得到均匀化群截面
1.2散射事件方法
群常数中的群间转移截面和散射截面的高阶勒让德分量不能直接应用确定论的方法获得.在连续能量点截面数据库中没有相应的微分散射截面，散射反应是通过总散射截面和散 射角分布等量体现的：非弹性散射中的出射中子能量也有一定的分布，为此，论文提出散射
（13）式就是本文P.的计算方法：首先在一1到1之间分割一定数目的角度区间，根据
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
事件方法计算散射矩阵和勒让德分量.散射事 件方法利用蒙特卡罗直接模拟的特点，跟踪模拟散射事件，当散射发生时，统计能量和角度的变化，在此基础上获得散射矩阵和勒让德系数.
对于散射矩阵，分别记录散射事件前后的中子能量，判断此能量所属的分群能量区间并 进行统计，获得散射份额
群间转移截面通过散射份额与散射截面的乘积获得：
时同时考虑下游堆芯应用扩散方法和输运方法 应用蒙特卡罗方法产生组件均匀化群常数计算，因此有必要产生高阶勒让德分量，或称P.截面.
以一维问题为例，勒让德分量的定义如下：
面和中子通量的系数，可以利用勒让德多项式 和是使用勒让德多项式展开散射截的正交性求得.其中.是群间转移截面，是中子注量率.n1时，应用蒙特卡罗方法统涨落特性，会造成很大误差.假设与.成 计权重函数（z，E）时，由于蒙特卡罗方法的比例关系，即
应用微分散射截面的定义
（10）式可以写成
散射事件前后角度的改变获得散射角余弦，在相应的角度区间上增加计数：粒子跟踪完毕，可
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
临界渐进谱修正无限介质谱，得到临界
以获得各个角度区间的份额，然后利用勒让德关系式的定义，计算数值积分.
1.3扩系数
(18)
扩散系数是输运方程到扩散方程近似时引人的参数.扩散系数定义为：
临界谱是考虑了临界效应的能谱，应用该能谱作为群常数归并时的权重函数：
(14)
D3其中为输运截面.确定论方法使用多群核数据库中包含有各核素的输运截面，而在连续能量蒙特卡罗数据库中没有 对应的量.作为初步实现蒙特卡罗方法组件均匀化的方法，本文输运截面通过下式获得：
(19)
群常数就可以归并出考虑了临界效应的少群常 这样在全反射单组件模型下得到的均匀化数，该少群常数用于堆芯计算即可提高其精度.
(15)
2 数值验证
其中为总截面，是P系数的自散射截面，应用1.2节所述计算方法获得.
2.1验证方法
数值验证部分蒙特卡罗方法均匀化群常数采用MCMC程序计算.MCMC程序是本文作者编制的基于连续能量蒙特卡罗方法组件均匀 化程序.为展示本文研究的方法和蒙特卡罗均匀化的特性，以下计算中MCMC群常数没有应用等效均匀化.MCMC计算获得的均匀化蒙特卡罗程序MCMG和细网有限差分程序 群常数将与CASMO-3进行对比.应用多群CITATION计算堆芯，获得和通量分布，与参考解MCNP1的计算结果对比，验证方法的可靠性.
1.4泄漏修正
组件均匀化计算一般采用全反射单组件局部均匀化模型，这种模型没有考虑组件在堆芯 中的真实状态：组件的边界存在中子净流，组件通常处于临界状态，蒙特卡罗方法均匀化也要还原两步法计算流程中组件在堆芯的临界状态，本文采用确定论方法中成熟的B理论修正泄漏效应，基本思路是：使用B方程中的 曲率B表征堆芯的有限性，使用近似渐近能谱考虑中子泄漏，
多群形式的B方程
MCMC具有产生任意数目群参数的能力.表1给出了2群、4群和7群的能群边界，本文将考察3种能群结构数对物理计算结果的影响，
表12群、4群和7群的能群结构 Table 1 Groap boundaries for the2- 4- and 7-greep structures
(16)
其中
2暮47# 能群上界/eV 能宽度/eV1 1 1.000 0E 07 9. 179 0E062 3 2 5. 530 0E03 8. 210 0E05 5. 526 0E63 8. 154 7E053 4. 000 0E 00 3 375 0E006. 250 0E-01 4. 850 0E-01ot. 6 7 1. 400 0E-01 5. 800 0E-02 5. 800 0E-02 8. 200 0E-02
(17)
（16）式和（17）式中B为临界曲率，其他参量与一般多群扩散方程中的意义相同. 通过求解（16）式获得临界渐近能谱，使用
组件计算时如果应用全反射边界条件，净流为零，中子输运方程和扩散方程中的泄漏项为零.以多群扩散方程为例：
响井不显著.
表2AFA3G组件CASMO-3和MCMCTable 2 Comparisoe between two groups of coestants in 计算的2群群常数比较
MCMC and CASMO-3 calculations for AFA3G assembly
工况参数 宏载航面/cm-1 偏差/%6. 590 2E-01 CASMO-3 6 773 8E-01 MCMC1. 992 7E00 2. 017 1E00 2.78 1.221 8. 440 7E-03 8 561 8E-03 1.432 8. 134 6E-02 8. 050 2E-02 1.042 1 1. 216 4E-01 5. 511 9E-03 1. 210 4E-01 5. 413 3E-03 1.79 ~0. 49ARO 6. 260 4E-01 6. 415 9E-01 2.482 4.203 0E-04 3. 161 9E-04 24.77Ex-1 21.910 9E00 1 2. 453 9E-02 1. 936 3E00 2. 725 8E-02 11.081 9 659 6E-01 9 930 7E-01 2.81 1.33D 2 2.114 3E-01 2. 080 4E-01 1.61 6. 404 0E-01 6. 611 3E-01 3.2421. 907 8E00 1.251 2E-02 1. 923 8E00 1. 232 1E-02 ~1.53 0. 841 2 1.087 9E-01 1. 088 4E-01 0 04v/ 1 5.506 1E-03 50-3 9269 4. 41ARI 2 1.237 6E-01 1.225 1E-01 1.011 5. 400 1E-04 6. 061 0E-01 6. 259 TE-01 ~17.17 3.282 1 2. 178 8E-02 2. 286 5E-02 4. 473 0E-04 4.9421.798 4E00 1. 814 5E00 0.891 9 752 9E-01 9. 860 8E-01 1.11D 2 2.214 6E-01 2. 192 3E-01 1.01
(20)
对于全反射边界条件，方程（20）写作
(21)
(22)
kw的理论值，这可以作为另一个验证组件群 根据（22）式可以根据均匀化群常数计算常数有效性的手段.
2.2AFA3G组件验证
富集度为2%.分别使用CASMO-3和MCMC 图1所示为17×17形式的AFA3G组件，计算产生控制棒全提（ARO）和控制棒全插（ARI）两种工况的均匀化群常数.
图1AFA3G组件模型Fig 1 AFA3G sssembly model
表3给出了CASMO-3和MCMC计算的群常数解析解k与参考值的比较.采用MCMC群常数计算的解析解k与参考值符合较好，随着能群数目的增加，结果越来越好：总 体来说，CASMO群常数的结果要差一些，而且没有特征值随能群数目增加面改善的趋势.这是因为确定论组件计算时采用多群数据库，MCMC计算应用连续能量，均匀化归并少群参数时保留了更多连续能量的信息.
表2比较了MCMC与CASMO计算的2群群常数.从表中可以看到：无论是ARO工况还是ARI工况，除了跳群散射截面， MCMC与CASMO-3计算的群常数相对偏差都在5%以内，对于截面而言，这是很小的；不同群的群间转移截面差别较大，考虑到热群到快群向上散射截面本身数值就很 小，在很多2群堆芯计算中甚至设为0，其影
