第一章集合与函数概念
4.解析集合是无限集时，宜用描述法表示(1)1yly=x²-4 xc R| ={yly≥-4}（2）x=0时，函数y= 有意文.集合为[x1x0]x-（）集合为
数，但3的倍数不一定是6的倍数，A学B.（3）4和10的公倍数是20的倍数， 因面A=｜xlx是4与10的公倍数，x[xlx=20m m eN I =B. ∈N |=|x1x是20的倍数 x∈N |=
1.1集合
1.1.1集合的含义与表示
练习
1.1.3集合的基本运算
1.答案（1）e；e（2）(3）=（4)∈;#解析（1）中国和印度是亚洲国 家，美国属于北美洲，英国属于欧例.(2)A= (x1x² =x1 = 10 11 -. 121 . 3α B.(4) C= |xe N11 ≤x≤ A.(3)B=|x1x²x-6=0| =∣3 10| = |1 2 3 4 5 6 7 8 9 10| 8e C 9.1 C.2解析（1）方程x²-9=0的根为3与-3该集合为[3 -3] （2）素数也叫质数，是自然数中比1大且只能被1和它本身整除的数，最小的素数为2，该集合为12.3， 5 71.（3）集合的元素是点，用坐标表示，也可表示为 （x.y） |(y=2x6) fy=x3该集合为1（1 4）1. （4）集合的元素满足4x-5<3，即为x<2的实数，该集合为丨xlx3| B= ↓x1x≥21 .. -4α B 3 解析（1）.4= |x12x-3<3r|=x1x(2)A=|x1x²1=0| =|1 -1| . 1 e A 12) SB BSA4 1-1|A A{-1 1|=A.空集是任何非空集合的真子集 （3）菱形是平行因边形，但平行四边形不一定是菱形；等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定 是等边三角形 6.解析B=x13x-7≥82x| |=4UB=|x12≤x<4| U |x1x≥3|=|x1x2}. A∩B=|x12≤x<4||xlx≥3|= |x13≤x<4|. 练习 1.1.2 集合间的基本关系 7.解析A=|1 2 3 4 5 6 7 81 B= [1 2 3| C=[3 4 5 6| AB=BU C= |1 2 3 4 5 6) B∩C= 11 2 3| 4nC= [3 4 5 6] 13] . A∩(BUC)= [1 2 3 4 5 6) AU(8C)= |1 2 3 4 5 6 7 8}. 习题 1.1 1.解析，1a丨.16]，|c1.丨a 6|， a c] (b cl 1a b e|.集合A的子集包括空集和它本身， A朗 1.答案（1）e （2）e (3)(4) ∈ (5）∈ (6)e解析理解常用数集R、Q、Z、N的 含义，2答案 （1）∈ （2）# （3）∈解析A=|x1x=3k-1 ☆cZ|是由 “3的倍数减1的数构成的集合.5-10eA而由 7=3-1 解得k= =3×21 . 5e A 10=3×(3) 1 8 与k∈Z矛盾，7A3.解析（1）大于1且小于6的整数有4个；2 3 4 5 集合为12 3 4.（2）（x-1）（x2）=0的解为x=1或 51.x=-2，集合A=|1 -2| （3)由3<2x1≤3 得1<x≤2.cZ x=0或x=1或x=2 集合B=|0 1 2} 2答案（1）c 容易漏掉，需注意 (2) e (3)=（4）（5） （6）=合，元素与集合间的关系是∈或 解析（1）a是元素，1a b c｜是集(2)1x1x²=0| = |0| . 0e |xlx²=0}.（3）x²1=0无实数解.（4)N是自然数集 |x∈ R1x²1=0| =.（6）方程x²-3x2=0的解为1.2 (5) 1x1x²=x| = [0 1|x1x²32=0|=|1 2}3.解析（1）B=11 2 4 81 故A≤B. （2）A=|xlx=3k，b=N|是由白然数中3的倍数构成的集合，B=|xlx=6，cN是由自然数中6的倍数构 成的集合，6的倍数一定是3的倍 8.解析“每位同学最多只能参加两项比赛表示为AnBnC= （1）AUB表示参加一百米或参加二百米题的同学 （2）AnC表示既参加一百米又参加四百米跑的同学. 9.解析B∩C=x1x是菱形，且x是 矩形|=|x1x是正方形|.B=|xlx是平行四边形，但x不是四边形|， 菱形|=|x1x是邻边不相等的平行A=|xlx是平行四边形或梯形，但 x不是平行四边形=|x1x是梯形|10.解析因为A=（x13≤x<7|.8= [x12<x<10| 所以AUB=|x12<x< B相 练习 J0| AB= x13 ≤x<7| A= |x1r<3，或x≥71，B=|x1x≤2 或x或x≥10}：（AnB）=｜x1x<3，或 ≥10} 所以（AUB）= |x1x≤2 x≥71;(4）B=x12<r<3 或7≤x<7 或x≥10|. ≤x0 得-3≤x≤1.所以函数f（x）=√1-x√x3-1的定义域为|x1-3<x≤11 2.解析（1）f（2）=3×2²2×2=28，f(-2）= 3x(2)²2x（2）=-28 f（2）f（-2）=28（-28）=0. =xx=（∞)（）f[α) 3×(a)²2x(a)=-(3a²P)-]=(-)(∞ 2a).2e) ] =0. 3.解析（1）由实际意义知，前者定义域为10≤≤26丨，面后者定义城为R，两函数定义域不同.两函 数不相等 （2）Ax）=1的定义域为R，g（x）=x的定义域为|xlx=0]定文域不同两函数不相等 1.2.2函数的表示法 习题练习 1.解析如图 圆的直径AC=50cm，边AB=xcm，在R△ABC中 由勾股定理，知BC=√2 500-x²cm 矩形ABCD 的面积y=ABBC=x√2 500-x0<AB<AC=50 . 0cr<50. y=x */2 500′(0<x<50). 2.解析（1）与D图；（2）与A图； （3）与B图吻合得最好.与C图相符的一件事可能为：我出发后感到时 间较紧，所以加速前进，后来发现时间还很充格，于是，放慢了速度 3.解析y=1x-21= (2-x x*1 且 x*2]. ²-3x2（4）要使 √4x 有意义，f4-x≥0 x-1应有 (x-1=0 x≤4 且x“1 √4-x函数f（x）= x-1 的定义域为|xc RIx≤4 且 x=#1|.
2.解析（3）中的两函数相等（1）f（x）的定义域为R，g（x）的定 义域为x1x=0丨，它们的定义域不同，f（x）与g（x）不相等. （2）f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，=），它们的定义域f（x）与g（x）不相等 不同，（3）f（x）与g（x）的定义域都是R，它们的对应关系相同，Ax）与g（x）相等
3.解析（1）如图左，定义域为R，值域为R域为1yly×0| （2）如图右，定义域为|x1x≠0|，值
（3）如图左，定义域为R，值城为R（4）如图右，定文城为R，值域为丨yly -2}
4.解析f（-√2）=3x(-√2)²-5x （2）2=85/2f(α)- 3x(a)²5×(α) 2- 3a²f(a3）= 3×(α3)²-5×(α3）2= 5u2:f(a) f(3）= 3a²5o23x3²5x3 3a²13e14;2=3²5a16.
14
点（3 14）不在fx）的图象上(2)f（4）= 42 4-6 -3.(3）由f(x)= x2 2 解得x=14.x-6
根据映射定文，建立由A到B的映射，只要使A中的每一个元素在B中都有唯一确定的元素与之对应 即可，也就是依次确定元素a、b、c所对应的元素
6.解析解法一：{f[1)=1²b • 1=5c1=0 (3）=3²3=369=0 解得 {b=-4 .f(x)=x²-4x3. le=3.f(1)= (1)²4x(1)3=8解法二：由f（1）={（3）=0知. 1.3是x²basc=0的两个根.f（x)=x²-4x3. =x｜=>²-=（1）-=qf（-1)=（(-1)²-4x(-1）3=8解法三：由f1）={（3）=0知， 1.3是x²basc=0的两个根(x)= x²bxc=(x1)(x3) g =(ε1)×(1-1）=(1-）
B组
1.解析定义域是白变量的取值范围，值域是函数值的集合.0]u[2 6) （1）由题图可知，自变量pe[-5.定义域为[-5 0]u[2 6） （2）值域为[0 ∞）.（3）当re[0 2）U（5 ∞）时，r的值只与p的一个值对应
2.解析满足条件的一个函数的图象如时，
7.解析（1）是分段函数，图象由两条射线（y=0 x≤0含端点，y=1 r>0不含端点）组成（图1）. （2）图象由（1 4）、（2 7）、（3 10）三个点组成（图2）.
（1）略.（2）定义域为丨x1-3≤x≤8 且x51，图象在-3≤r≤8范围内， 且横坐标为5的点不在图象上；值域为y1-1≤y≤2.y≠0，图象在-1≤y≤2范围内， 且纵坐标为0的点不在图象上
图2
图1
[xy=10 8.解析 由题意得 =2x2， f=xy 此可得[x>0 d>0 x、dJ任意网个量的函数关系式 10 20例如;y = （x>0） /=2x [x>0) 1=220.
3.解析f（x）=[3 x(2.5 2) 1 x[1 0) -2 x[-2 -1) 0 x=[0 1).2 x∈[2.3). 1 xe [1 2) 则f(x）的图象如图. [3 xe 13].
9.解析依题意得'. x=-由题意可知函数的值域为[0 b]， ].函数的定文域为 4
10.解析 映射， 设了为集合A到集合B的所示 则从A到B的映射共有8个，如图
4.解析（1）如图APB=90° =
由A到B所用的时间为 x²4
BC=(12x)km 由B到C所用的时间为 12从小岛到城镇共用的时间为：=x412-x由题意知0≤x≤12 5函数关系式为1（x）= /x²412-x 35 ，0≤x≤12（2）由（1）及题查，可得r（4）3h
1.3函数的基本性质
1.3.1单调性与最大（小）值
练习
1.解析由图象先上升后下降可知，工人数在一定范围内时，生产效率随着 工人数的增加面提高，而当工人数超产效率反面降纸 过某一数量后，随着工人数的增加，生
2解析函数图象可能如所示
由图可知 增区间为[8 12]，[13 18]； 减区间为[12 13]，[18 20].3.解析减区间为[-1 0] [2 4]，增区间为[0 2]，[4 5] 函数在[-1 0]上是减函数，在[0 2]上是增函数，在[2 4]上是减函数，在[4 5]上是增函数
4证明任取x ，x∈R 且x则（x )-f（x)=2（x=x ) 国为x，所以xx>0 即2(xx）>0 四f（x ）>f（x）.所以f（x）=-2x1在R上是减函数
5.答案最小值 解析{（x）在[-6 11]上的大致图象如阳
由图可知f（-2）是函数f（x）的一个最 小值
1.3.2奇偶性
练习
1.解析（1）函数f（x）的定文域为R. 关于原点对称（x）fx）=2²3²为偶面数 = =（x) （x)=（x)（2）函数f（x）的定义域为R，关于原f(x)=（=x)²2(x)==x²2x==(x² 点对称-2x）=-f（x）f（x）=x²-2x为奇函数. x²1 x=01，关于原点对称， （3）函数f（x）= 的定义域是|x1对定义域内每一个x，都有f(-x)= （=x）²1_x²1_ -f（x），函数f（x）= x²1 为奇函数 X（4）函数f（x）=x²1的定义域为R关于原点对称.=（-x)²1=x²1=fx）. 对定义城内每一个x，都有f（-x）函数fx）=x²1为偶函数
2.解析f（x）是偶函数，f（x）的图象关于y轴对称，补充g（x）是奇函数， 后的图象如图1;g（x）的图象关于原点对称，补充后的图象如图 2.
习题1.3
A组
1.解析 （1）函数y=x²-5x-6的图象如图：
由图象可知：（2）函数y=9-x²的图象如图：
由图象可知：单调增区间是（-∞，0]；单调减区间是[0 ∞）.
2.证明（1）任取x，x=（-∞，0），Hx < 期f(（x )-f（x）=（x²1)（x²1)=（x x）（x=x)xx<0 xx<0 x<x0 脚f（x）.f（x）=x²1在（-x，0）上是减 >f(x).函数x，则 （2）任取x x∈（∞ 0) 且x <f(x )f(x)= 111x<x<0 x x =x0 f（x）-fx）=即{（x ）<f{（x）..f(x)= 1- 在（-∞ 0）上是增函数 3.解析 当m0时 y=mx6是R上的增证明：令y=f（x）=mxb. 任取x，x∈R，且x<xf（x)-f（x ）=（mx6）-（mx 5)=m(x=x ). x0.当m<0 时 m（xx ）<0 f（(x）<f(x)y=mrb在m0 时 m（x=x，)>0 f（x）>f(x)4.解析心率关于时间的一个可能的 y=mx6在m>0时，单到逆增
图象，如图；
心率减慢，则图象下降；心率升高， 则图象上升，
5.解析y= 162x21 0001 (ײ8 100s)21 000 5050 Iy =307 050. 所以当x=4050时，取得最大值，答：每辆车的月租金为4050元时，307 050元 租货公司的月收益最大，为
6.解析因为f（x）是R上的奇函数， 所以有f（-x）=-f（x）.因为当x>0时，f（x）=x（1x），所以当x0. 所以f(x)=(x)(1x)==x(1-x) 所比L f(x)= -f(-x)=x（1=x) {x(1x) x≥0 即f(x)= 它的图象如图所示 x(1-x) x<0 B维 1.解析 （1）f（x）=x²-2x=（x-1）²故f（x）的单调递增区间为[1. -1 ).g（x)=x²-2x=(x-1)²-1 x∈ [2 单调递减区间为（-，1].故g（x）的单调递增区间为[2 4] 4].（2）由（1）知当x=1时，f（x）取最当x=2时，g（x）取最小值0 小值-1. 2.解析设每间熊猫居室的面积为 ym 由宽为xm，得每间熊猫居室的长为 x-0那么 2303x 2 3（x²-10x）) 2 3(x5)²752 (0<r0f（x）在（0 ∞）上是减函数（4)（x）在（== 0）上是增函数
B组
1.解析设只参加田径一项比赛的有x人.根据题意作出如图所示的韦 恩图.
故所求定义域为|xlx≥2} （x5≥0（2）由 {1x1-5=0² {x-4≥0 xx故所求定义域为|x1x>4，且x≠5|.
3.解析偶函数f（x）在（0 ∞）上是减函数， 那么f（x）在（-∞，0）上是增函数证明如下：任取x x（∞，0） 且x＜x 则-x >-x>0因为函数f（x）在（0 ∞）上是减所以f-x）<f（-） 函数，又因为f（x）是偶函数，所以f-x)=f（x）. f(x）=f（x）.于是{x）0 a0即g的取值范围是α≥0
复习参考题
A组
1.解析（1）.4=|-3.3}.(2)B={1 2}.(3)C={1 2}.
3.解析因为（AUB）=11 31. 所以4UB=|2 4 5 6 7 8 9}.又A（C，B）=|2.4）. 所以B={5 6 7 8 9}.4.解析f（1)=5:f(-3）=21;f（a1）= {(a1)(a5). a-1 （（a1）（a-3）. a20 即k≤40 或k≥160时，f（x）在[5.20]上是单调函数 所以，实数k的取值范围为1b≤40 或≥160
2解析（1）|PIPA=PB|表示到两定点距离相等的点的集合，即AB的 垂直平分线（2）1P1PO=3cm|表示到定点00点为因心.3cm为半径的圆 的距离等于3cm的点的集合，即以
3.解析△ABC的外心4.解析A=|-1 1}B≤A 当a=0时，B=②满足题意；当a≠0时，由 =1或 -1.解得α=1或α=-1.5.解析AB= 综上，可得a=0或a=1或a=-1.1(0 0)1 ANC= (3xy =0j3xy = 01B∩C=={(号} (A∩B) U (B∩ C)= 1(0 0)1
10.解析 y=r²令（x）=y=则（x）的定义域为（-，0）U（0.∞)， 1Bf( -x)= （=x）²x =f（x).（1）（x）是偶函数 （2）它的图象关于y轴对称（3）任取x，x≤（0 ∞），且xx，则/（x）-f（x）= 11x²x²_（x=x ）（xx）0< 0 x x>0 xx>0 (xx )(xx) >0
